Dysfonctionnements cognitifs

Les nombres sont partout et représentés sous différentes formes (symbolique ou non-symbolique). On y fait appel de manière précise ou approximative. La représentation approximative des grandes numérosités est partagée au travers des âges, des cultures et des espèces. Des études montrent que les bébés, qui n’ont pas encore accès au langage, possèdent des capacités arithmétiques. Entre la naissance et l’adolescence, le chemin est changeant. L’enfant passe par des retours en arrière, des arrêts, des biais perceptifs. Un même enfant peut utiliser plusieurs stratégies de comptage au même moment et changer de stratégies selon les caractéristiques du problème.

Des études (Siegler, 2000, 2001) ont démontré que l’enfant possède beaucoup de stratégies cognitives. La mémoire de travail joue un rôle important voire déterminant durant le développement des habiletés mathématiques.

Le système oral est le premier que l’enfant maîtrise.

• Il existe trois processus en ce qui concerne l’appréhension de la numérosité :
  • Le subitizing : capacité d’indiquer rapidement la numérosité de collections de maximum 3 à 4 points.
  • Le comptage verbal : compter des collections plus ou moins grandes présentées de façon visuelle.
  • L’estimation : évaluation de la numérosité d’ensembles de points et lorsqu’il ne nous est pas possible de les compter. Les réponses sont alors approximatives.

• Quatre niveaux d’élaboration ont été définis dans les stratégies de comptage et de dénombrement :
  • Le niveau chapelet (3 ans) : l’enfant produit la chaîne comme un tout, il ne fait pas de pause entre les mots. Le comptage verbal et le pointage ne sont pas coordonnés.
  • Le niveau de la chaîne insécable (4 ans) : la séquence est produite comme une suite de mots individualisés mais l’enfant ne peut la produire qu’à partir du début. L’enfant commence à être capable de compter jusqu’à un nombre donné.
  • Le niveau de la chaîne sécable (6 ans) : à partir d’une borne déterminée, l’enfant peut produire la suite de la séquence. Il peut compter de tel nombre à tel autre. Le comptage à rebours se met doucement en place.
  • Le niveau de la chaîne terminale (7 ans) : les nombres de la chaîne sont considérés par l’enfant comme des entités différentes. Le comptage à rebours est automatisé, de même que les possibilités d’accès à n’importe quel endroit de la chaîne.

En 1ère année primaire, le dernier niveau est en général acquis (entre 6 et 7 ans) mais il existe une grande variabilité interindividuelle.

• Les habiletés de comptage se mettent progressivement en place entre 2 ans et 8 ans, plus ou moins. Le comptage est défini par 5 principes :
  • Le principe de correspondance terme à terme : une étiquette verbale ne peut être attribuée qu’à un et un seul objet.
  • Le principe de l’ordre conventionnel : les noms de nombres doivent être énoncés dans un ordre identique et conventionnel.
  • Le principe de cardinalité : lorsque l’activité de dénombrement est terminée, le dernier terme donné coïncide au cardinal de l’ensemble.
  • Le principe d’abstraction : le caractère homogène ou hétérogène des collections n’a aucun impact sur l’activité de comptage.
  • Le principe de non-pertinence de l’ordre : le résultat du dénombrement est identique quel que soit l’ordre dans lequel tous les éléments de l’ensemble ont été comptés.

• L’acquisition des nombres écrits
  • Notation 1 : La représentation globale de la quantité quand il s’agit de simples graphies isolées et répétitives.
  • Notation 2 : Une seule figure avec la représentation de certaines caractéristiques de forme des objets.
  • Notation 3 : Correspondance terme à terme dans la relation entre le nombre de graphies et le nombre d’objets présents dans la collection.
  • Notation 4 : Apparition des chiffres quand les graphies sont soit des chiffres, soit une approximation de ceux-ci.
  • Notation 5 : Cardinal seul si l’enfant produit le cardinal de la collection.
  • Notation 6 : Cardinal accompagné du nom des objets.

• Le passage d’un code à l’autre, les activités de transcodage

  Il existe deux systèmes de notation : les nombres écrits au moyen de mots et ceux écrits au moyen de chiffres.

  • Le système de notation verbale : le lexique verbal des nombres est limité et s’organise en différentes classes lexicales : les unités (de un à neuf), les dizaines (de dix à nonante) et les particuliers (de onze à seize). A côté de ces 3 classes, il faut ajouter les multiplicateurs (cent, mille, million…) et les autres éléments (zéro, et). Chaque élément est identifié par deux types d’informations : la classe lexicale d’appartenance (erreur de classe : quinze devient cinquante) et la position occupée dans cette classe (erreur de position : quinze devient treize).
  • Le système de notation arabe : il comporte 11 éléments, les chiffres de 0 à 9 et le point. C’est un système uniquement positionnel puisque la valeur d’un chiffre est complètement déterminée par sa position dans la séquence.

• La représentation en base dix se construit en 5 étapes :
  • Conception unitaire des nombres à deux chiffres : association arbitraire et par simple mémorisation des nombres à un chiffre et de notre système linguistique dans lequel les mots n’indiquent pas de rupture claire après les noms d’unités.
  • Conception dizaines-unités basée sur la numération verbale : l’enfant sépare les numéraux oraux en dizaines et unités et relie ces deux parties à des quantités distinctes (erreur de concaténation : 53 et 50 3).
  • Conception des séquences de dizaines-unités : les dizaines sont conçues comme des groupes de dix.
  • Conception dizaines-unités séparées : la dizaine est perçue comme une entité supérieure à l’unité.
  • Conception intégrée des séquences de dizaines-unités séparées : l’enfant perçoit une dizaine comme un groupe de 10 unités mais aussi comme une entité supérieure.

• Opérations logiques : selon Piaget
  • La sériation : ordonner des objets en fonction de leurs différences et faire abstraction des équivalences.
  • La classification : ranger des objets dans un ensemble commun et faire abstraction des différences.
  • La conservation du nombre : intégration de la sériation et de la classification (nécessaire pour comprendre la composition additive des nombres)
  • L’inclusion numérique : les nombres fonctionnent comme des ensembles qui s’emboîtent les uns dans les autres (nécessaire pour réaliser des classifications hiérarchiques)
  • La composition additive : comprendre l’identité d’un tout au travers des différentes compositions additives de ses parties.

Opérations arithmétiques

• Les additions : le schéma général d’évolution
  • Compter les objets
  • Compter sur les doigts
  • Le comptage verbal se dissocie en plusieurs stratégies :
    • comptage du tout
    • comptage à partir du premier terme
    • comptage à partir du plus grand terme
  • Stratégie de décomposition
  • Récupération en mémoire des faits additifs

La répétition fréquente des exercices de comptage favorise l’installation en mémoire à long terme des faits arithmétiques de base.

• Les soustractions : l’évolution est semblable à celle des additions.
• La multiplication et la division : l’apprentissage se développe plus tard.

Les stratégies sont basées sur des procédures (additions répétées, comptage en base n), des récupérations en mémoire, des règles.

Les enfants utilisent plusieurs stratégies pour résoudre les problèmes arithmétiques simples.

Selon Dehaene, la représentation des quantités existerait aussi sous une forme analogique. C’est à partir de cette prémisse qu’il conceptualisera une nouvelle architecture fonctionnelle pour le traitement des nombres et du calcul, en y introduisant la notion de codes: l’un serait visuel arabe, un autre verbal auditif et finalement un troisième, analogique. Le code visuel arabe permettrait les calculs écrits (procédures) et le jugement de parité (l’exactitude). Le code verbal auditif jouerait un rôle dans le comptage (dénombrement) et le stockage des séquences verbales propres aux tables de multiplication et d’addition. Enfin, le code analogique représenté par une droite numérique autoriserait les comparaisons numériques, les approximations et l’appréhension immédiate de la valeur d’un nombre.

Selon Temple (1992), les « Trouble des compétences numériques et des habiletés arithmétiques, se manifestant chez des enfants d’intelligence normale et qui ne présentent pas de déficit neurologique acquis ».

Selon les critères du DSM IV, « Les aptitudes arithmétiques, évaluées par des tests standardisés, sont en dessous du niveau escompté compte tenu de l’âge, de l’intelligence et d’un enseignement approprié à l’âge; Le trouble interfère de manière significative avec la réussite scolaire ou les activités de la vie courante; Les difficultés mathématiques ne sont pas liées à un déficit sensoriel ».

On entend par dyscalculie développementale les troubles sévères des apprentissages numériques sans atteinte organique ou déficience mentale identifiée (P. Barouillet dans « la cognition mathématique chez l’enfant », p. 181.)

Cependant, les comorbidités sont fréquentes en particulier avec la dyslexie ou le TDAH (Michel Habib, « La constellation des dys », p 154).

• Il existe différents types de dyscalculies :
  • Dyscalculie du traitement numérique : difficulté du traitement des nombres
  • Dyscalculie des faits arithmétiques : difficultés dans l’apprentissage des tables d’addition et de multiplication, difficultés dans la résolution d’additions et de soustractions simples, problème de lenteur car ils utilisent le comptage sur les doigts
  • Dyscalculie procédurale : Difficultés dans les procédures de calcul (résoudre une opération écrite, le sens des opérations, maîtrise des priorités dans une chaîne de calcul)
  • La dyscalculie dite « visuo-spatiale » : confusion des signes arithmétiques, difficultés à disposer les opérations dans l’espace graphique, difficultés de dénombrement de collections, difficultés d’orientation gauche-droite…

Prévalence

En moyenne, dans la littérature, on relève un taux de 5 à 7% de la population d’âge scolaire (Shalev, 2007; von Aster & Shalev, 2007) - Variations de 1% à 11% selon les études et les critères de diagnostique (Butterworth, 2005).

Représentation analogique

• Subitizing :
  • Tedi-math : estimation de la grandeur (6)

• Estimation :
  • Zareki-R :
    • estimation visuelle de quantité (9)
    • estimation qualitative de quantités en contexte (10)
    • positionnement de nombres sur une échelle verticale (6)
  • Numérical : droite à graduer (1-8), ordre de grandeur (2-10), compteur de vitesse (2-12), proposition de calcul écrit (2-13), estimation de quantité en contexte (2-14)

Représentation visuelle arabe

• Numérical : combien de chiffres (2-11)

• Calculs mentaux complexes
  • Tedi-math :
    • système en base dix (3C)
    • opérations (5)
  • Zareki-R : Problèmes arithmétiques présentés oralement (11)
  • Numérical : calcul écrit conventionnel (1-5), calcul écrit arrondi ( 1-9)
  • KRT : Kortrijkse Rekentest Revisie

• Jugement de parité
  • Tedi-math : système numérique arabe (3A)
  • Zareki-R : comparaison de deux nombres écrits (12)
  • Numérical : comparaison digitale (1-2)
  • KRT

Représentation auditive verbale

• Numérical : combien de chiffres (2-11)
• Zareki-R : comparaison de deux nombres présentés oralement (8)

• Comptage :
  • Tedi-math
    • comptage (1)
    • dénombrement (2)
    • système numérique oral (3B)
  • Zareki-R :
    • Dénombrement de points (1)
    • Comptage oral à rebours (2)
  • Tables de multiplication
    • Zareki-R : calcul mental oral (4)
    • Numérical : comptines (2-2), calcul oral (2-8)
    • KRT

Lien entre représentation visuelle arabe et représentation auditive verbale

• Numérical : transcodages un-1 (1-6), bonne écriture (1-7)

• Lecture
  • Tedi-math : transcodage (3D)
  • Zareki-R: lecture de nombres (5)
  • Numerical : lecture alphabétique (2-3), lecture digitale (2-9)

• Ecriture
  • Tedi-math : transcodage (3D)
  • Zareki-R : dictée de nombres (3)
  • Numérical : suite digitale (1-1), transcodage 1-un (1-4), dictée digitale (1-10), dictée alphabétique (1-12)

• Production orale
  • Numérical : connaissances numériques précises (1-13), nombre mal enregistré (2-4), proposition de calcul oral (2-7)